¿Qué es la interpolación?

Alcance del trabajo

Este es un trabajo académico, el cual está realizado por alumnos de la Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas de la Universidad Politécnica de Madrid.

Realizado para la asignatura de informática y programación, esta página pretende explicar y ayudar en el apartado de la interpolación. Principalmente está dirigido para todos aquellos alumnos interesados en aprender esta materia.

En este trabajo usamos los conocimientos adquiridos durante el curso en la asignatura de Informática y Programación y otros conocimientos que hemos obtenido por cuenta propia. El público objetivo de nuestro trabajo son los alumnos que en cursos posteriores vayan a cursar dicha asignatura y necesiten un refuerzo para asentar los conocimientos.

Definición

En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

Utilidad

En ciertos casos el usuario conoce el valor de una función f(x) en una seriede puntos x1, x2,···, xN, pero no se conoce una expresión analítica de f(x) que permita calcular el valor de la función para un punto arbitrario. Un ejemplo claro son las mediciones de laboratorio, donde se mide cada minuto un valor, pero se requiere el valor en otro punto que no ha sido medido. Otro ejemplo
son mediciones de temperatura en la superficie de la Tierra, que se realizan en equipos o estaciones meteorológicas y se necesita calcular la temperatura en un punto cercano, pero distinto al punto de medida.

La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para un valor de x arbitrario, a partir de la construcción de una curva o superficie que une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo valor si se conoce. Se asume que el punto arbitrario x se encuentra dentro de los límites de los puntos de medición, en caso contrario se llamaría extrapolación. En este página se discute exclusivamente la interpolación, aunque la idea es similar.

Formas de interpolación

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  • Interpolación lineal (figura)
  • Interpolación polinómica
  • Interpolación de Hermite
  • Interpolación de Splines

(Estas formas son lás más importantes)

En la práctica

Un proceso de interpolación se realiza en dos etapas:

1. Hacer un fit de los datos disponibles con una función interpolante.
2. Evaluar la función interpolante en el punto de interés x.

Este proceso en dos etapas no es necesariamente el más eficiente. La mayoría de algoritmos comienzan con un punto cercano f(xi), y poco a poco van aplicando correcciones más pequeñas a medida que la información de valores f(xi) más distantes son incorporadas. El procedimiento toma aproximadamente O(N2) operaciones. Si la función tiene un comportamiento suave, la última correción será la más pequeña y puede ser utilizada para estimar un límite a rango de error.

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