Solución Ejercicio 2

Sabemos que si tenemos los n+1 puntos (xi,yi), i=0… n, y queremos calcular el polinomio que interpola en dichos puntos utilizando la fórmula de Interpolación de Newton en diferencias divididas, hemos de usar:

pn(x)= f[x0] + f[x0,x1](x−x0)+ f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+…+f[x0,x1, …,xn](x−x0)(x−x1)…(x−xn−1)

Calculamos entonces la tabla de diferencias divididas:

xk yk f[xk, xk+1] f[xk,xk+2] f[xk,xk+3] f[xk,xk+4]
4 278
-4 -242 65
7 1430 152 29
6 908 522 37 4
2 40 217 61 4 0

donde se ha expresado por brevedad la diferencia dividida f[xk,xk+1,…,xk+p] como f[xk || xk+p].La diagonal de la tabla de diferencias divididas, en color rojo, es entonces: [278,65,29,4,0], que se corresponde exactamente con el conjunto de valores que aparece en la fórmula y por tanto, los polinomios de Newton son los siguientes:

p0(x) = 278 (interpola en el primer punto)

p1(x) = 65(x-4) + p0(x) = 65x + 18 (interpola en los 2 primeros puntos)

p2(x) = 29(x-4) + p1(x) = 29x2-446+65x (interpola en los 3 primeros puntos)

p3(x) = 4(x-4)(x+4)(x-7) + p2(x) = 2+x+4x3+x2 (interpola en todos los puntos)

O también:

p(x) = 278+65(x−4)+29(x-4)(x+4)+ 4(x-4)(x+4)(x-7) = 2+x+4x3+x2

Si se quiere interpolar en un punto concreto, lo mejor es tomar el polinomio de interpolación en su forma de Newton y reordenarlo al estilo Ruffini-Horner expresando el polinomio como:

p(x) = 278 +(x−4) (65+(x-4)(29+(x-7)(4)))

lo que supone realizar a lo sumo 6 sumas/restas y 3 multiplicaciones para interpolar en un punto x. Para interpolar entonces en x= 5, basta sustituir la x de la expresión reordenada anterior por su valor 5 para obtener p(5) = 532.

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