Interpolación de Lagrange - Teoría

Interpolación Polinómica

Objetivo

Empezamos con un conjunto de n+1 puntos en el plano (que tengan diferentes coordenadas x):

(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2),….,(xn, yn).

Nuestro objetivo es encontrar una función polinómica que pase por esos n+1 puntos y que tengan el menor grado posible. Un polinomio que pase por varios puntos determinados se llama un polinomio de interpolación.

Vamos a ver una forma de la solución que es el llamado polinomio de interpolación de Lagrange. (Lagrange publicó su fórmula en 1795 pero ya había sido publicada en 1779 por Waring y redescubierta por Euler en 1783).

Definición

Dado un conjunto de k + 1 puntos: (xo,yo), …, (xk,yk) donde todos los xj se asumen distintos.

La fórmula general para el polinomio de interpolación de Lagrange es

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Donde usamos polinomios básicos de Lagrange:

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Expandiendo el producto para verlo mejor:

Lag3.jpg

Estos polinomios básicos de Lagrange se construyen con una propiedad:

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Entonces es muy fácil comprobar que estos polinomios pasan por todos los n+1 puntos dados (es decir, es un polinomio de interpolación).

Demostración

La función que estamos buscando es una función polinómica L(x) de grado k.

El problema de interpolación puede tener tan solo una solución, pues la diferencia entre dos tales soluciones, sería otro polinomio de grado k a lo sumo, con k+1 ceros.
Por lo tanto, L(x) es el único polinomio interpolador.

Fórmula de Lagrange

La resolución de un problema de interpolación lleva a un problema de álgebra lineal en el cual se debe resolver un sistema de ecuaciones:

  1. Primera forma de determinar el polinomio interpolador de Lagrange: resolviendo un sistema de (n+1) ecuaciones llegamos a la matriz de Van der Monde (si los puntos del soporte son distintos es no singular, solución única del sistema)
  2. Segunda forma de determinar el polinomio interpolador de Lagrange: fórmula de Lagrange, el aspecto de las funciones de base de Lagrange (polinomios de Lagrange) depende del nº de puntos de soporte

Dados dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) hay exactamente una recta que pasa por esos dos puntos:

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Dados tres puntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2), con coordenadas x diferentes, o bien los tres puntos están en una recta o hay un polinomio de segundo grado (una parábola) que pasa por esos tres puntos. En cualquier caso, hay un polinomio de grado como mucho 2 que pasa por esos tres puntos.

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Fórmula del error . Acotación

Objetivo

  1. Obtener y aplicar la expresión que proporciona el error de interpolación en el proceso de interpolación polinómica de Lagrange
  2. Obtener cotas del error de interpolación de Lagrange

Definición

A veces se tiene suficiente información de la función a interpolar y es posible conocer una cota del error cometido en la interpolación. Esto ocurre, por ejemplo, cuando se desea elaborar unas tablas de una función conocida para después calcular sus valores en puntos intermedios mediante interpolación. En estos casos puede ser de utilidad el siguiente teorema.

Teorema

Hipótesis:

f [a,b] -> R
f(x) es continua en [a,b]
f(X) es n+1 veces derivable en [a,b]
xo,x1,…,xn ∈ [a,b] y son distintos dos a dos;
P es el único polinomio de grado ≤ n tal que P(xi) = f (xi) para i = 0,1,…,n y x ∈ [a,b]

Tesis:

∃ ξ ∈ [a,b] tal que f(x).P(x) =

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Acotación

Si existe (y además conocemos) una cota (M) de la derivada n+1-ésima de f(x) en [a,b] , podremos acotar el error de la interpolación mediante la siguiente expresión:

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Se observa en la gráfica de la cota del error que ésta es menor en la zona central de los puntos base. Las zonas a la izquierda de xo y a la derecha de x4 no son de interpolación, sino de extrapolación, y la gráfica da una idea de la falta de exactitud en la zona de extrapolación, pues el error puede crecer indefinidamente si nos alejamos de la zona de interpolación.

lag11.jpg

Ejemplo

Vamos a hallar una cota del error cometido al aproximar cos (0,74) por su valor interpolado.
Es inmediata la comprobación de que f(x) = cos(x) cumple todas las hipótesis del teorema del error en la interpolación. Además

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con lo que

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