Interpolacíon de Newton - Teoría

Diferencias Divididas

Introducción

Para comenzar a explicar lo que es una diferencia dividida primero debemos conocer lo que es un soporte equidistante. Para un cierto valor positivo de h se denomina soporte equidistante a todo soporte de puntos generado a partir de un cierto x0, tal que:

xi = x0+ i·h (i = 1,2,…,n)

Un soporte equidistante se caracteriza, como su propio nombre indica, en que todos los puntos tienen la misma separación.

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Definición

Se denomina Diferencia Dividida a la constante Cn resultante de

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En las diferencias divididas de la función f(x), el soporte es{x0,x1,…,xn-1,xn}y se representa por:f[x0,x1,…,xn-1,xn]

Propiedades

  • El orden en el que estén ordenados los valores del soporte no altera el resultado final.
  • La relación entre las diferencias divididas verifica:
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Fórmula de Newton

Por medio de las diferencias divididas podemos deducir el polinomio interpolador de Newton, que se representa por la siguiente expresión:

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Un método para conseguir esta expresión es mediante la tabla de Frasser-Logenze.

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Diferencias Finitas

Podemos distinguir entre diferencias finitas progresivas y regresivas.

Diferencias Finitas Progresivas

Se denomina diferencia finita progresiva de un orden determinado a la siguiente expresión:

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y, particularizando para m=0, nos queda:

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Para calcular diferencias finitas progresivas, haremos uso de la siguiente tabla:

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Diferencias Finitas Regresivas

Se denomina diferencia finita regresiva de un orden determinado a la siguiente expresión:

fe3a83e41074834731743ab803cd4936.pngmfi=fe3a83e41074834731743ab803cd4936.pngm-1fi-fe3a83e41074834731743ab803cd4936.pngm-1fi-1 (i = m, m+1, …,n)

Para calcular diferencias finitas regresivas, haremos uso de la siguiente tabla:

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Las diferencias finitas progresivas guardan cierta relación con las regresivas, como podemos ver a continuación:

  • Diferencias finitas progresivas
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  • Diferencias finitas regresivas
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