Diferencias Divididas
Introducción
Para comenzar a explicar lo que es una diferencia dividida primero debemos conocer lo que es un soporte equidistante. Para un cierto valor positivo de h se denomina soporte equidistante a todo soporte de puntos generado a partir de un cierto x0, tal que:
xi = x0+ i·h (i = 1,2,…,n) |
Un soporte equidistante se caracteriza, como su propio nombre indica, en que todos los puntos tienen la misma separación.
Definición
Se denomina Diferencia Dividida a la constante Cn resultante de
En las diferencias divididas de la función f(x), el soporte es{x0,x1,…,xn-1,xn}y se representa por:f[x0,x1,…,xn-1,xn]
Propiedades
- El orden en el que estén ordenados los valores del soporte no altera el resultado final.
- La relación entre las diferencias divididas verifica:
Fórmula de Newton
Por medio de las diferencias divididas podemos deducir el polinomio interpolador de Newton, que se representa por la siguiente expresión:
Un método para conseguir esta expresión es mediante la tabla de Frasser-Logenze.
Diferencias Finitas
Podemos distinguir entre diferencias finitas progresivas y regresivas.
Diferencias Finitas Progresivas
Se denomina diferencia finita progresiva de un orden determinado a la siguiente expresión:
y, particularizando para m=0, nos queda:
Para calcular diferencias finitas progresivas, haremos uso de la siguiente tabla:
Diferencias Finitas Regresivas
Se denomina diferencia finita regresiva de un orden determinado a la siguiente expresión:
mfi=m-1fi-m-1fi-1 (i = m, m+1, …,n) |
Para calcular diferencias finitas regresivas, haremos uso de la siguiente tabla:
Las diferencias finitas progresivas guardan cierta relación con las regresivas, como podemos ver a continuación:
- Diferencias finitas progresivas
- Diferencias finitas regresivas