Interpolación de Hermite

Objetivo

El objetivo de Hermite es minimizar el error producido en la interpolación de Lagrange de la función f(x) sobre el intervalo [a, b] sin aumentar el grado del polinomio interpolador.

Definición

Dados un entero no negativo N, N + 1 puntos (x0, … , xN) de la recta distintos dos a dos y los valores f(j)(xi), 0< i< N, 0< j< ki-1 de una función f y de sus derivadas, encontrar un polinomio de grado m = (k0 +k1 +· · ·+kn-1,) tal que:
P(j)(xi) = f(j)(xi), 0 < i < N, 0< j < ki-j

Teorema

El problema de interpolación de Hermite tiene solución única, que se llama polinomio interpolador de Hermite.

Cálculo del Polinomio de Hermite

En lugar de interpolar sobre un soporte de puntos (de Tchebycheff) donde en general se desconoce el valor de la función, de hace de otra manera, imponiendo unas condiciones al polinomio:

  1. Igualar el valor de la función en en los puntos del soporte, p(xi) = f(xi)
  2. Igualar el valor de algunas derivadas de la función también en los puntos del soporte, p(j)(xi)=f (j)(xi)

Por lo que podemos dejar el polinomio de Hermite de grado (n-1) expresado de la siguiente manera:

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Tipos

Interpolación de Hermite de primer orden:

Se puede expresar el polinomio interpolador de Hermite de primer orden de la siguiente forma:

Dibujo%281%29.jpg

donde B0,i(x), se calculan con la siguiente fórmula:

Dibujoq%281%29.jpg

donde Li(x) son los polinomios de la base de Lagrange.

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