Sabemos que si tenemos los n+1 puntos (xi,yi), i=0… n, y queremos calcular el polinomio que interpola en dichos puntos utilizando la fórmula de Interpolación de Newton en diferencias divididas, hemos de usar:
pn(x)= f[x0] + f[x0,x1](x−x0)+ f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+…+f[x0,x1, …,xn](x−x0)(x−x1)…(x−xn−1)
Calculamos entonces la tabla de diferencias divididas:
xk | yk | f[xk, xk+1] | f[xk,xk+2] |
2 | 15 | ||
0 | -1 | 8 | |
-2 | -17 | 8 | 0 |
donde se ha expresado por brevedad la diferencia dividida f[xk,xk+1,…,xk+p] como f[xk || xk+p].La diagonal de la tabla de diferencias divididas, en color rojo, es entonces: [15,8,0], que se corresponde exactamente con el conjunto de valores que aparece en la fórmula y por tanto, los polinomios de Newton son los siguientes:
p0(x) = 15 (interpola en el primer punto)
p1(x) = 8(x-2) + p0(x) = 8x−1 (interpola en todos los puntos)
O también:
p(x) = 15 +8(x−2) = 8x−1
Si se quiere interpolar en un punto concreto, lo mejor es tomar el polinomio de interpolación en su forma de Newton y reordenarlo
al estilo Ruffini-Horner expresando el polinomio como:
p(x) = 15 +(x−2) (8)
lo que supone realizar a lo sumo 2 sumas/restas y 1 multiplicaciones para interpolar en un punto x. Para interpolar entonces en x= −1, basta sustituir la x de la expresión reordenada anterior por su valor −1 para obtener p(−1) = −9.