Solucion Ejercicio 2 Spline

Calcular la interpolación por splines de grado 2:

spl%203.jpg

Primero que nada, vemos que se forman tres intervalos: [3,4,5],[4,5,7],[7,9]

En cada uno de estos intervalos, debemos definir una función polinomial de grado 2, como sigue:

Hacemos que la spline pase por los puntos de la tabla de datos, es decir, se debe cumplir que:

s(3)=2,5
s(4,5)=1
s(7)=2,5
s(9)=0,5

Así, se forman las siguientes ecuaciones:

ej%207.jpg

Hasta aquí, tenemos un total de 6 ecuaciones con 9 incógnitas.
El siguiente paso es manejar la existencia de las derivadas continuas. En el caso de las splines de grado 2, necesitamos que la spline tenga derivada continua de orden k-1=1, es decir, primera derivada continua.
Calculamos primero la primera derivada:

ej%206.jpg

Vemos que esta derivada está formada por segmentos de rectas, que pudieran presentar discontinuidad en los cambios de intervalo. Es decir, las posibles discontinuidades son x = 5.4 y x = 7 . Por lo tanto
para que s′(x) sea continua, se debe cumplir que:

ej5.jpg

También debe cumplirse que:

ej4.jpg

Así, tenemos un total de 8 ecuaciones vs. 9 incógnitas; esto nos da un grado de libertad para elegir alguna de las incógnitas. Elegimos por simple conveniencia a1 = 0.
De esta forma, tenemos un total de 8 ecuaciones con 8 incógnitas. Estas son las siguientes:
ej3.jpg

Este sistema de ecuaciones tiene la siguiente forma matricial:

ej1.jpg
ej2.jpg
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