Spline Cubica

Cada polinomio P(x) a través del que construimos los Splines en [m,n] tiene grado 3. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d

En este caso vamos a tener cuatro variables por cada intervalo (a,b,c,d), y una nueva condición para cada punto común a dos intervalos, respecto a la derivada segunda:

  • Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada uno de estos puntos.
  • Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común. Que la derivada segunda en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.
  • Como puede deducirse al compararlo con el caso de splines cuadráticos, ahora no nos va a faltar una sino dos ecuaciones (condiciones) para el número de incógnitas que tenemos.

La forma de solucionar esto, determina el carácter de los splines cúbicos. Así, podemos usar:

Splines cúbicos naturales: La forma más típica. La derivada segunda de P se hace 0 para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n].
Dar los valores de la derivada segunda de m y n de forma "manual", en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n].
Hacer iguales los valores de la derivada segunda de m y n en el conjunto de splines definidos en el intervalo [m,n].

Splines cúbicos sujetos: La derivada primera de P debe tener el mismo valor que las derivada primera de la función para el primer y último punto sobre el que está definido el conjunto de Splines, esto son, los puntos m y n en el intervalo [m,n].

Definición

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PROCESO DE CÁLCULO DEL POLINOMIO s(x)

1. Determinar los hi= xi-xi-1.
2. Hallar los coeficientes ai con la expresión (1) (incluido an+1).
3. Plantear el sistema de ecuaciones en ci con la expresión (6), al que añadimos la ecuación que contiene cn+1(i = 2, 3, …, n).
4. Plantear las 2 ecuaciones adicionales en ci con las expresiones (7a), (7b), (8a) u (8b) según corresponda.
5. Resolver el sistema y hallar los coeficientes ci (incluido cn+1).
6. Hallar los coeficientes di con la expresión (4).
7. Hallar los coeficientes bi con la expresión (2).
8. Hallar el polinomio interpolador s(x) definido a trozos (un si(x) para cada intervalo Ii).

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